所谓高手,就是把自己活成了贝叶斯定理

来源: 云核变量交易员
人生中最重要的问题,在绝大多数情况下,真的就只是概率问题。

本文来源:云核变量交易员 (ID:yunhefinance),华尔街见闻专栏作者

人生中最重要的问题,在绝大多数情况下,真的就只是概率问题。

——皮埃尔-西蒙·拉普拉斯

先讲一个真实的故事。

我的一个夫妻朋友有了二胎,由于太太年龄较大,所以医生警告说,你们的孩子有可能会得唐氏综合症。朋友很紧张,那怎么办?医生说,可以做羊水穿刺,以确诊是不是真的得了。朋友很开心。不过呢,医生又说,羊水穿刺也有可能会失败,那样你们的孩子就没了。这下朋友纠结了,一边是唐氏综合症,一边是孩子没了,这可怎么做决定?

医生后来又说,高龄产妇得唐氏综合症的概率大约是2%,羊水穿刺检测失败的概率大约是1%。这下简单了,坚决不做啊。

所以,我们发现,一旦知道了某件事情发生的准确概率,我们的决定就瞬间简单了起来。但问题是,我们怎么能知道这些概率呢?

很多人觉得所谓的概率,都是计算出来的。一枚硬币,正反面各50%,一个袋子里100个球,30个黑球,70个红球 ,摸出一个红球的概率是70%。

那假设一个黑盒子,你事先不知道里面多少黑球,多少红球,怎么办呢?其实,现实世界里,我们面临的绝大多数情况都没法计算,都是黑盒子却需要去判断概率的问题。

频率派和贝叶斯派

传统的方法叫频率派。关于频率和概率的区别,很多人不熟悉。简单的说,概率说的是事情未来发生的可能性,而频率说的是对某事情进行观察或者实验,发生的次数和总次数的比值。概率是事情本身的一个固有属性,是一个固定值,而频率是变化的,样本越大,频率越接近概率。根据大数定理,当样本无穷大时,频率等于概率。

你抛硬币10次,不见得会正面反面各5次,但是你抛1万次,那基本是正反各50%。比如那个黑盒子,你不断的从里面随机的拿球出来,统计黑球和红球的比例,次数“足够多”时,你得到的那个频率,就接近真实的概率。

这个方法用了上百年,现在仍然被广泛使用,比如某某疾病的发病率,飞机和火车的出事概率等等 ,都是利用大样本的统计,逼近真实概率。

但是,我们稍微深入的思考一下,就会发现这个方法的两个局限:第一,你只有积累了一定数量的样本,才能有一个对概率的初步判断,你只扔5次,只取10个球,基于小样本得出的概率很可能错的离谱。第二,如果这个黑盒子够黑,你连里面总共有多少个球都没概念,甚至里面的球的总数量都是变化的,这时你就没法判断什么叫“足够多”。

现实世界里,我们碰到的大量问题,根本找不到这么多现成的数据。还有很多新兴事物,压根没有先例,一种新发现的疾病,一个新的产品,一种新的市场策略,那怎么判断概率呢?瞎蒙吗?

也对,也不对。

这就需要贝叶斯学派了。

英国数学家托马斯·贝叶斯(Thomas Bayes)在1763年发表的一篇论文中,首先提出了这个定理。而这篇论文是在他死后才由他的一位朋友发表出来的。在这篇论文中,他为了解决一个“逆向概率”问题,而提出了贝叶斯定理。

在贝叶斯写这篇文章之前,人们已经能够计算“正向概率”,比如杜蕾斯举办了一个抽奖,抽奖桶里有10个球,其中2个白球,8个黑球,抽到白球就算你中奖。你伸手进去随便摸出1颗球,摸出中奖球的概率是多大。根据频率概率的计算公式,你可以轻松的知道中奖的概率是2/10。

而贝叶斯在他的文章中是为了解决一个“逆概率”的问题。同样以抽奖为例,我们并不知道抽奖桶里有什么,而是摸出一个球,通过观察这个球的颜色,来预测这个桶里里白色球和黑色球的比例。

这个预测其实就可以用贝叶斯定理来做。贝叶斯当时的论文只是对“逆概率”这个问题的一个直接的求解尝试,这哥们当时并不清楚这里面这里面包含着的深刻思想。然而后来,贝叶斯定理席卷了概率论,并将应用延伸到各个问题领域。可以说,所有需要作出概率预测的地方都可以见到贝叶斯定理的影子,特别地,贝叶斯是机器学习的核心方法之一。

贝叶斯学派的观点是,概率是个主观值,完全就是我们自己的判断,我可以先估计一个初始概率 ,然后每次根据出现的新情况,掌握的新信息,对这个初始概率进行修正,随着信息的增多,我就会慢慢逼近真实的概率。这个方法完美的解决了频率派的两个问题,我不用等样本累积到一定程度,先猜一个就行动起来了,因为我有修正大法,而且我也不关心是不是“足够多”,反正我一直在路上。

贝叶斯学派诞生两百多年来,一直倍受争议,甚至连co-founder拉普拉斯自己都放弃了,因为大家觉得这个摸着石头过河的方法太扯了,太不科学了。直到最近几十年,随着计算机技术的进步才大放异彩,现在的人工智能、图像识别、机器翻译等,背后无不采用了贝叶斯方法。

那我们需要看看,贝叶斯方法究竟是怎么摸着石头过河的。

贝叶斯定理(Bayes' Theorem)

什么事都要从头说起,贝叶斯全名为托马斯·贝叶斯(Thomas Bayes,1701-1761),是一位与牛顿同时代的牧师,是一位业余数学家,平时就思考些有关上帝的事情,当然,统计学家都认为概率这个东西就是上帝在掷骰子。当时贝叶斯发现了古典统计学当中的一些缺点,从而提出了自己的“贝叶斯统计学”,但贝叶斯统计当中由于引入了一个主观因素(先验概率,下文会介绍),一点都不被当时的人认可。直到20世纪中期,也就是快200年后了,统计学家在古典统计学中遇到了瓶颈,伴随着计算机技术的发展,当统计学家使用贝叶斯统计理论时发现能解决很多之前不能解决的问题,从而贝叶斯统计学一下子火了起来,两个统计学派从此争论不休。

这一部分涉及一些数学公式和计算,但说实话 ,只需要小学算术水平就可以了。

贝叶斯定理如下:

A是你要考察的目标事件,P(A) 是这个目标事件的先验概率,又叫初始概率,或者基础概率。B是新出现的一个新事件。P(A|B) 的意思是当B出现时A的概率,在这里就是我们需要的后验概率。P(B|A) 是当A出现时B的概率。P(B) 是B出现的概率,在这里具体计算稍微复杂一些,指当A出现时B的概率和当A不出时(用A_来表示)时B的概率的总和,用公式表达就是 P(B) = P(B|A) * P(A) + P(B|A_) * P(A_)。P(B|A) / P(B) 可以看作一个修正因子。

上述解释你可以忽略,简化的理解为:

后验概率 = 先验概率 x 修正因子

举个例子。

比如你新进入一家公司,你不确定这里MBA学历对员工升迁的作用,而这个对你的个人发展很重要,因为你要决定接下来是不是去读一个MBA学位。由于新来,压根没有样本,这时候你可以采用贝叶斯定理。

P(A) 是你根据过往经验事先估计的,MBA对升迁有多大好处?比如你先预估一个30%。这时候,出现了一个新信息B,小王升迁了,而且小王是MBA。那么,P(B|A) 是说当MBA管用时,小王升迁的概率,比如你现在的判断是80%。小王可能本身就有能力且业绩突出,就算没有MBA也可能会升迁啊,所以P(B|A_) = 50%(发现了吗,这个公式自动的帮助我们避免走极端)。

套入贝叶斯公式,P(A|B) = 30% * 80% / (80% * 30% + 50% * 70%) = 41%。从30%提高到了41%。那么当小王升迁这个新情况出现以后,你对MBA作用的概率判断从30%提高到了41%。

但是,过了段时间,你发现同样是MBA的小李,熬了很多年也没有升迁,最后辞职了。现在你对小李因为MBA有效而升迁的概率判断降为20%了。套入公式,新的P(A|B) = 41% * 20% / (20%*41% + 50%*59%) = 22%。从刚才的41%跌了近一半。

这样几次下来,你就能对这个这家公司对MBA的看法有个相对靠谱的判断了。

或许你会说,搞这么复杂干嘛,有了新情况,我原来的看法会改变,新情况和自己的预期一致就强化原来的看法,否则就弱化,这不就是常识吗,还用得着什么数学定理吗?

很好,的确一针见血。拉普拉斯说过,所谓的概率就是把人们的常识用数学表达出来。也有人说,人脑就是采用贝叶斯方法来工作的。

但是我们人脑有偏差啊,有误区啊,会犯浑啊,这个公式让我们忽然获得了一个上帝视角,来审视一下,我们自己究竟是怎么做判断,做决定的,计算机又是怎么模仿并超越我们的,这岂不是很美妙的一件事情 。

让我们再来看一个复杂一点的例子,这是一个经典的案例 ,网上随处都可以找到。

艾滋病毒(HIV)检测技术的准确度相当惊人。如果一个人真是HIV阳性,血液检测的手段有99.9%的把握把他这个阳性给检查出来而不漏网。如果一个人不携带HIV,那么检测手段的精度更高,达到99.99%——也就是说只有0.01%的可能性会冤枉他。已知一般人群中HIV携带者的比例是0.01%。现在假设我们随便在街头找一个人给他做检查,发现检测结果是HIV阳性,那么请问,这个人真的携带HIV的可能性是多大呢?

我们使用贝叶斯定理。A表示“这个人真的携带HIV”,B表示“检测出HIV”,那么根据现有条件,P(A) = 0.01%,P(B|A) = 99.9%,P(B|A-) = 0.01%,带入公式,计算得到P(A|B) = 0.01% * 99.9% * (99.9%*0.01% + 0.01%*99.99%) = 50%!

答案或许和你的直觉不一致,即使在这么惊人的检测准确度之下,哪怕这个人真的被检测到HIV阳性,他真有HIV的可能性也只有50%。

我们看到,如果是一种非常罕见的病毒,人群中只有万分之一的人感染,在这种情况下即使你的检测手段再高,也很有可能会冤枉人。甚至,如误诊率不是0.01%,而是0.1%的话,也就是检测手段再差一档,这个结果就会瞬间从50%降到9%。但是,我们也可以反过来想 ,这么罕见的疾病,一旦被检测出来了,也有50%的概率真的会得,这个跃迁是从万分之一,一下子到了50%。而如果我们假设这个病毒的感染率不是万分之一,而是千分之一,那么在原来的检测精度下,可能性就从50%升到了90%。

总结下刚才的贝叶斯定理应用的套路,你就更清楚了,会发现像小学生做应用题一样简单:

第1步. 分解问题简单来说就像做应用题的感觉,先列出解决这个问题所需要的一些条件,然后记清楚哪些是已知的,哪些是未知的。1)要求解的问题是什么?识别出哪个是贝叶斯中的事件A(一般是想要知道的问题),哪个是事件B(一般是新的信息,或者实验结果)2)已知条件是什么?第2步.应用贝叶斯定理第3步,求贝叶斯公式中的2个指标1)求先验概率2)求可能性函数3)带入贝叶斯公式求后验概率

这其实可以解释为什么我们说一叶知秋,为什么说当你家发现了一只蟑螂,那么你家里一定已经有很多蟑螂了。罕见事件,可以对初始概率做出数量级的改变。同时,这也解释了我们有时也不能反应过度,有人叛逃到国外了,我们难道需要彻底关闭海关吗?真的需要在墨西哥修建长城吗?

贝叶斯定理,把我们的思考的方式给撕开了,揉碎了。

为什么贝叶斯定理在现实生活中这么有用呢?

这是因为现实生活中的问题,大部分都是像上面的“逆概率”问题。生活中绝大多数决策面临的信息都是不完全的,我们手中只有有限的信息。既然无法得到全面的信息,我们就应该在信息有限的情况下,尽可能做出一个最优的预测。比如,天气预报说,明天降雨的概率是30%。这是什么意思呢?因为我们无法像计算频率概率那样,重复地把明天过上100次,然后计算出大约有30次会下雨,所以只能利用有限的信息(过去天气的测量数据),采用贝叶斯定理来预测出明天下雨的概率是多少。同样的,在现实世界中,我们每个人都需要预测。要想深入分析未来、思考是否买股票、政策给自己带来哪些机遇、提出新产品构想,或者只是计划一周的饭菜。贝叶斯定理就是为了解决这些问题而诞生的,它可以根据过去的数据来预测出概率。贝叶斯定理的思考方式为我们提供了明显有效的方法来帮助我们提供能力,以便更好地预测未来的商业、金融、以及日常生活。

贝叶斯定理给我们的启示

塔勒布说过,数学不仅仅是计算,而是一种思考方式。

现实世界中,我们没法时时刻刻拿出电脑来演算一下公式,但是我们仍然可以通过这个定理得到一些宝贵的启示:

1、先行动起来。

大胆假设,小心求证。不断调整,快速迭代。这就是贝叶斯方法。

当信息不完备时,对概率的判断没有把握时,当然可以选择以静制动,但是不行动也是有代价的,你可能会错过时机,你也没有机会进步。这个时候,贝叶斯方法给我们提供了一个很好的思路,先做一个预判,动起来,利用新的信息不断修正原来的预判。

2、听人劝、吃饱饭,但又不能听风就是雨。

当我们没有把握时,我们很容易根据新信息调整看法。更大的挑战是,我们已经形成了一个看法,甚至有了成功经验时,当新情况出现后,我们能不能也去调整自己看法。那个黑盒子,我们摸索了一段时间,估计出了里面红球、黑球的概率,但是我们有没有想过,这个黑盒子里的球的比例会变化呢?

有了新信息,我们要对原来的看法做多大程度的修正呢?

这些,不可能有标准答案,但是明白了这个道理,有助于我们及时又谨慎的做出调整。

3、初始概率很重要。

初始概率越准确,我们就能越容易、越快速的得到真实的概率。疑邻盗斧,以貌取人,会让我们离真相越来越远。而如何获得相对靠谱的初始概率,是个硬功夫,它需要你的经验、人脉、平时的深度思考,有时甚至和底层的价值观、思维方式都有关。

丹尼尔.卡尼曼在他的《思考,快与慢》里,就特地强调了初始概率对贝叶斯方法的重要性。

4、对出现的特殊情况要引起足够的重视。

前面我们已经看到了,万分之一概率的事情,也有可能因为特殊事件,一下子变成了50%。所以,每当出现特殊的、罕见的情况时,我们要保持高度警惕,黑盒子里的球的比例是不是变化了?但同时我们也看到,如果检测精度不够高,即便出现了罕见事件,真实概率也可能不到10%。所以,具体要怎么采取行动,还需要进一步观察。

5、信息的收集,信息的质量,以及对信息的判断,是提高决策水平的最重要环节。

只要有新信息,就可以修正,哪怕初始判断错了,新信息足够多,也能修正过来。但是没有信息,就没有修正。所以,在做决定之前,尽可能多的收集信息是必须的。但是错误的信息、低质量的信息,会让你的修正偏离真相越来越远,你能不能区分信息来源的可靠性、能不能进行交叉验证、逻辑推理,就显得至关重要。

要做到这些,甚至某一些,都并不容易,掌握里面的平衡,就更加困难。

所谓高手,就是把自己活成了贝叶斯定理。

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MobileUser3119

确实,我周边就有这样的人!学习了

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胡建春

这是高手。

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